設函數f(x)的定義域關于原點對稱，并滿足：①f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)],(f(x1-x2),f(x1),f(x2)都有意義且f(x1)≠f(x2)）；②存在常數a使f(a)=1, 求證：⑴f(x)是奇函數 　　　⑵f(x)是周期函數，4a是它的一個周期．

熱心網友

設函數f(x)的定義域關于原點對稱，并滿足：①f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)],(f(x1-x2),f(x1),f(x2)都有意義且f(x1)≠f(x2)）；②存在常數a使f(a)=1, 求證：⑴f(x)是奇函數 　　　⑵f(x)是周期函數，4a是它的一個周期． 證明:有已知,函數f(x)滿足①f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)],(f(x1-x2),f(x1),f(x2)都有意義且f(x1)≠f(x2)）；所以有f[-(x1-x2)]=f(x2-x1)=[f(x2)(x1)+1]/[f(x1)-f(x2)]=-[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]=-f(x1-x2)若令x=x1-x2,則有f(-x)=-f(x)。又因函數f(x)的定義域關于原點對稱所以f(x)是奇函數(2)有(1)知,f(x)是奇函數,f(-x)=-f(x)。有題意,存在常數a使f(a)=1, 所以f(2a)=f[a-(-a)]=[f(a)f(-a)+1]/[f(-a)-f(a)]=[-f(a)f(a)+1]/[-f(a)-f(a)]=0,同理,f(3a)=f[a-(-2a)]=-1。所以f(x+3a)=f[x-(-3a)]=[f(x)f(-3a)+1]/[f(-3a)-f(x)]=[f(x)+1]/[1-f(x)]=[f(x)+1]/[1-f(x)]。f(x+4a)=f[f(x+3a)-(-a)]=[f(x+3a)f(-a)+1]/[f(-a)-f(x+3a)]={[f(x)+1]/[f(x)-1]+1}/{-1+[f(x)+1]/[f(x)-1]}=2f(x)/2=f(x)。所以f(x)是周期函數,且4a是它的一個周期。。

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1，f(x1-x2)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x2)-f(x1)]所以f(x2-x1)=[f(x1)f(x2)+1]/[f(x1)-f(x2)]=-f(x1-x2)令x1-x2=t，即f（-t）=-f（t），所以f(x)是奇函數2。。。。。第二問一時還想不出~~~還是先去睡了`~~~有空上來再好好想想！！各位高手幫忙啊！！！