已知二次函數的二次向系數為，且不等式的解集為。求（1）若方程有兩個相等的根已知二次函數f(x)的二次向系數為a，且不等式f(x)>-2x的解集為(1,3)。求（1）若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求的解析式(2)若f(x)的最大值為正數，求a的取之范圍請給出詳細過程，謝謝

熱心網友

已知二次函數f(x)的二次向系數為a，且不等式f(x)-2x的解集為(1,3)。求（1）若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求的解析式(2)若f(x)的最大值為正數，求a的取之范圍設y=ax^2 +bx+c ,因為f(x)＞-2x的解集為(1,3)　即ax^2 +(b+2)x+c＞0的解集為(1,3)所以方程ax^2 +(b+2)x+c＝0的解為x1=1 ,x2=3 ,且a＜0所以a+b+c+2=0 且9a+3(b+2)+c=0(1)。因為方程f(x)+6a=0有兩個相等的根所以△＝b^2 -4a(c+6a)＝0聯立三個等式解得：a＝-1/5 、b＝-6/5 、c＝-3/5所以解析式為：y=-1/5 *(x^2 +6x +3)(2)。因為a+b+c+2=0 且9a+3(b+2)+c=0所以 b=-4a-2 ,c=3a所以解析式為：y=ax^2 -2(2a+1)x +3a因為最大值y＝[12a^2 -4(2a+1)^2]/4a ＝-(a^2+4a+1)/a　＞0所以a＜-2-√3　或　-2+√3＜a＜0。

熱心網友

解:設f(x)=ax^+bx+c。∵不等式f(x)＞-2x,即:ax^+(b+2)x+c＞0的解集為(1,3),∴可以得到:(1)a＜0(2)方程ax^+(b+2)x+c=0的根是1和3。即:a＜0……④⑤∴b+2=-4a。即:b=-4a-2……②∴c=3a……③∴f(x)=ax^-(4a+2)x+3a。（1）若方程f(x)+6a=0即:ax^-(4a+2)x+9a=0有兩個相等的根。△=(4a+2)^-4a×9a=0a=-1/5[或a=1＞0舍去]。∴f(x)=(-1/5)x^-(6/5)x-3/5。(2)f(x)=ax^-(4a+2)x+3a=a[x-(2a+1)/a]^-(2a+1)^/a+3a若f(x)的最大值為正數,則:-(2a+1)^/a+3a＞0(a^+4a+1)/(-a)＞0∵(-a)＞0∴a^+4a+1＞0。即:(a+2)^＞3a＜-2-√3或a＞-2+√3。又∵a＜0∴a的取之范圍:a＜-2-√3或-2+√3＜a＜0。