設a∈R，求證a~(n＋2)＋(a＋1)~(2n＋1)(n∈R)能被a~2＋a＋1整除

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設a∈R，求證a~(n＋2)＋(a＋1)~(2n＋1)(n∈R)能被a~2＋a＋1整除證明：用數學歸納法：(1)當n=1時，a^3+(a+1)^3=(2a+1)(a^2+a+1)結論正確(2)假設當n=k時（k為大于等于2的整數）結論也正確即:a^(k+2)+(a+1)^(2k+1)=(a^2+a+1)*Ｍ (Ｍ為整數)(a+1)^(2k+1)=(a^2+a+1)*Ｍ-a^(k+2)當n=k+1時a^(k+3)+(a+1)^(2k+3)=a*a^(k+2)+[(a+1)^2]*(a+1)^(2k+1)=a*a^(k+2)+(a^2+2a+1)[(a^2+a+1)*Ｍ-a^(k+2)]=(a^2+a+1)*Ｍ*(a+1)^2-a^(k+2)(a-a^2-2a-1)=(a^2+a+1)*[Ｍ*(a+1)^2-a^(k+2)]故:a^(k+3)+(a+1)^(2k+3)能被(a^2+a+1)整除由(1)。(2)可知對n=1的一切自然數a~(n＋2)＋(a＋1)~(2n＋1)(n∈R)能被a~2＋a＋1整除證畢:。

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