實數x,y滿足x^2-2xy+y^2-√3x-√3y+12=0，則xy的最小值為

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原式整理得（x+y）^2- √3(x+y)+12=4xy 用均值不等式得 4xy-2√3√x√y+12小于等于4xy 12小于等于2√3√x√y xy大于等于3 當x＝y＝√3時取等所以xy最小值為3

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xy小于21/4

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不過比起zhh2360 這是更簡潔的做法

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(x+y)^2-√3(x+y)+12=4xy,設a=x+y，則0=（Z-x）（Z-y），有2個實數根x,y。（Z-x）（Z-y）=Z^2-（x+y）Z+xy=Z^2-aZ+a^2/4-√3a/4+3，Z^2-aZ+a^2/4-√3a/4+3=0==》（Z-a/2）^2=√3a/4-3≥0==》a≥4√3 （1）。xy=[a^2-√3a+12]/4=[（a-√3/2）^2+12-3/4]/4，顯然[a^2-√3a+12]/4在a≥4√3 遞增，所以xy的最小值為 [（4√3 ）^2-√3（4√3 ）+12]/4=12，這時x=y=2√3。

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實數x,y滿足x^2-2xy+y^2-√3x-√3y+12=0，則xy的最小值為 2xy=x^2+y^2-√3x-√3y+12=(x-√3/2)^2+(y-√3/2)^2+21/2 所以xy=1/2(x-√3/2)^2+1/2(y-√3/2)^2+21/4 所以當x=√3/2且 y=√3/2時xy最小，xy最小值為21/4

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xy的最小值為 45/16實數x,y滿足x^2-2xy+y^2-√3x-√3y+12=0，x^2+2xy+y^2-√3x-√3y+12=4xy，即(x+y)^2-√3(x+y)+12=4xy［(x+y)-√3/2］^2+45/4=4xy所以xy=1/4【［(x+y)-√3/2］^2+45/4】,所以當(x+y)=√3/2時,xy的最小值為 45/16