已知L1、L2是過點P（-√2，0）的兩條互相垂直的直線，且L1、L2與雙曲線Y^2-X^2=1各有兩個交點,且分別為A1、B1和A2、B2.(1) 求L1的斜率K1的取值范圍;(2) 若A1恰是雙曲線的一個頂點,求|A2B2|的值.

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數(shù)學(xué)雙曲線３提問者：798500228s (2005-11-23 22:20:44) 已知L1、L2是過點P（-√2，0）的兩條互相垂直的直線，且L1、L2與雙曲線Y^2-X^2=1各有兩個交點,且分別為A1、B1和A2、B2。(1) 求L1的斜率K1的取值范圍;(2) 若A1恰是雙曲線的一個頂點,求|A2B2|的值答：1。L1的斜率K1的取值范圍為： K≤-1/√3,K≥1/√3。 2。A2B2=2√15過程如下。1。過點P（-√2，0）作兩條互相垂直的直線：L1、L2，其方程為：L1：y-m(x+√2)=0;L2: my+(x+√2)=0;令L1、與雙曲線Y^2-X^2=1相交，其方程為：T1：m^2(x+√2)^2-x^2=1 ==(m^2-1)x^2+2√2*m^2x+2m^2-1=0, L1與雙曲線Y^2-X^2=1相交或相切時，△≥0：(2√2*m^2)^2-4(m^2-1)(2m^2-1)≥0 == 4m^2+2≥0 ==m^2≥-1/3, 因雙曲線Y^2-X^2=1對x軸對稱，且點P在x軸上，故m的兩個根必互為反數(shù)(數(shù)字相同、符號相反)。即 m1≥1/√3,m2≤-1/√3。L1的斜率K1的取值范圍為：K≤-1/√3,K≥1/√3。2。當A1是雙曲線的一個頂點時，即A1的坐標為(0,1)或(0，-1)。因雙曲線Y^2-X^2=1對x軸對稱，且點P在x軸上，只需考慮A1(0,1)。L1的斜率K1為：m1=1/√2， 則L2相應(yīng)的斜率為：m1=-√2 。L2方程為y=-√2(x+√2)，代入Y^2-X^2=1得x1=-√2+√5，x2=-√2-√5y1=-√2√5， y2=√2√5A2B2=√[(-√2+√5+√2+√5)^2+(-√2√5-√2√5)^2]=√(20+40)=2√15。A2B2=2√15。