證明：若整數Ｎ與１０互質，則Ｎ的１０１次方的末三位數必定與原三位數的末三位數字相同．

熱心網友

證明：若整數Ｎ與１０互質，則Ｎ的１０１次方的末三位數必定與原三位數的末三位數字相同．要證N^101末三位數與N的末三位數字相同只要證明N^101-N=N(N^100-1)能被1000整除由已知，N不含2、5因子，即：N是形如10a±1或10a±3的整數N與1000互質，所以只要證明N^100-1能被1000整除由二項式定理：（1）當N=10a±1時，N^100-1＝(10a±1)^100-1≡C(100,2)*(10a)^*(±1)^98+C(100,1)*(10a)*(±1)^99+C(100,0)*(±1)^100-1＝100*99/2*100a^±100*10a+1-1＝5*99*1000a^±1000a≡0 (mod 1000)（2）當N=10a±3時，N^100-1＝(10a±3)^100-1≡C(100,2)*(10a)^*(±3)^98+C(100,1)*(10a)*(±3)^99+C(100,0)*(±3)^100-1＝100*99/2*100a^*3^98±100*10a*3^99+3^100-1＝5*99*3^98*1000a^±3^99*1000a+(3^4)^25-1≡(81)^25-1≡1^25-1＝0 (mod 1000)證畢。

熱心網友

你出的題是奧林匹克的題，都是定理來的，誰那么有空給你證明啊．你不如問數學家吧