已知空間四邊形ABCD的四條邊和兩對(duì)角線相等,E為AD中點(diǎn),求EC與平面BCD所成角的正弦值

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***** 1/2 *****已知空間四邊形ABCD的四條邊和兩對(duì)角線相等，可以得到是正空間四邊形。E為AD中點(diǎn),求EC與平面BCD所成角的正弦值 E對(duì)BCD面的垂線為E到BD邊的垂線,假設(shè)垂足為F。Sin角=EF/CECE恰好是任何一個(gè)面的垂線長(zhǎng)度。EF是從中點(diǎn)E平行于垂線的一條線，長(zhǎng)度恰好為垂線的1/2所以Sin角=1/2

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四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD,可以知道這是一個(gè)正四面體。設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a.A在平面BCD的射影是Q。那么Q是正△BCD的中心。因?yàn)锳Q垂直于平面BCD,所以平面AQD也垂直于平面BCD。取QD的中點(diǎn)F，連接EF。那么中位線EF平行于AQ.EF也垂直于平面BCD。角ECF就EC是與平面BCD所成的角。QD=2/3*(asin60)=a*3^.5/3.AQ=(AD^2-QD^2)^.5=(a^2-a^2/3)^.5=a/3*6^.5EF=AQ/2=a/6*6^.5.CE=a*sin60=a/2*3^.5直角△EFC中sinECF=EF/EC=(a/6*6^.5)/(a/2*3^.5)=(3^.5)/3,所以直線EC與平面BCD所成角的正弦值是：(根號(hào)3)/3.

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