已知方程C：x^+y^+x-6y+m=0(1) 若方程C表示圓,求m的取值范圍(2)若圓C和直線x+2y-3=0交于P、Q兩點,求的取值范圍及此時PQ的垂直平分線方程(3)若圓C和直線x+2y-3=0交于P、Q兩點,且OP垂直OQ(O為原點)求|PQ|

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解: (1)圓(X-1/2)＾+(Y-3)＾=37/4-M ∵37/4-M＞ ∴M＜37/4(2):連立方程:(X-1/2)＾+(Y-3)＾=37/4-M 。。。。。。(1) X+2Y-3=0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。(2)解得:Xp={-1-2√(34-5m)}/5。 Yp={8+√(34-5m}/5。 Xq={-1+2√(34-5m)}/5。 Yq={8-√(34-5m}/5。如有交點,則(34-5m)≥0 m≥34/5∵PQ的垂直平分線必過圓點O(1/2,3)。 其所在直線斜率K與直線X+2Y-3=0斜率K1=-1/2之積為-1。知K=2 ∴PQ的垂直平分線方程Y=2X+2(3):|PQ|=√{(Xp-Xq)＾+(Yp-Yq)＾={2√(170-25m)}/5∵OP垂直OQ ∴OP所在直線方程斜率K2與OQ所在直線方程斜率K2之積為-1{(3-Yp)/[(1/2)-Xp]}×{(3-Yq)/[(1/2)-Xq]}=-1m=91/20。將m=91/20。帶入|PQ|={2√(170-25m)}/5=3。