過(guò)開(kāi)口向右的拋物線的焦點(diǎn)F 作傾斜角為θ的直線交拋物線于A ,B兩點(diǎn),設(shè)三角形AOB 的面積為S (O原點(diǎn))(1)用θ P 表示S (2)求的最小值:若最小值為4時(shí),求此時(shí)的拋物線方程

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解：設(shè)拋物線的方程是y^2=2px，焦點(diǎn)是F(p/2,0)，焦點(diǎn)弦AB的方程是y=k(x-p/2), k=tant （t是傾斜角）。消去x得到ky^2-2py-kp^2=0---y1+y2=2p/k,y1+y2=-p^2。1)△AOB被x軸分割成兩個(gè)同底(OF)的三角形： △AOF 以及 △BOF。S(AOB)=S(AOF)+S(BOF)=|OF|*|y1|/2+|OF|*|y2|/2=|OF|'2*(|y1|+|y2|) 顯然有向線段y1、y2在x軸的異側(cè)所以二者異號(hào)，于是|y1|+|y2|=|y1-y2|=√[(y1+y2)^2-4y1y2]=√[(2p/k)^2+4p^2]=2p√(1/k^2+1)=2p√[1/(tant)^2+1]=2p√[(cott)^2+1]=2p√[1/(sint)^2] （0sint0)=2p/sint需要指出t=Pi/2時(shí)，雖然上面的方法不適用，此時(shí)焦點(diǎn)弦的方程是x=p/2,代入拋物線方程得到y(tǒng)^2=p^2---y=+'-p---|AB|=2p=2p/sin(Pi/2),完全符合最后的等式。2)S=2p/sinT=4---sinT=p=8所以此拋物線方程是 y^2=16x。。